miércoles, 26 de enero de 2011

PROBLEMA DE OPTIMIZACION


PROXIMAMENTE ENCONTRAREMOS EL RESULTADO DEL PROBLEMA ANTERIOR EN ESTE APPLET












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viernes, 19 de marzo de 2010

Ley de enfriamiento de Newton



Enfriamiento Newtoniano


Se denomina enfriamiento newtoniano a aquel proceso de enfriamiento que sigue una ley determinada experimentalmente por Isaac Newton, según la cual la velocidad de enfriamiento de un cuerpo cálido en un ambiente más frío cuya temperatura es ?, es proporcional a la diferencia entre la temperatura instantánea del cuerpo y del ambiente.





Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido en la unidad de tiempo hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo.

Dando como resultado la siguiente formula:

En donde ...



Esta expresión no es muy precisa y se considera tan sólo una aproximación válida para pequeñas diferencias entre U0y T. En todo caso la expresión superior es útil para mostrar como el enfriamiento de un cuerpo sigue aproximadamente una ley de decaimiento exponencial el cual se denomina como la función exponencial que es una función real la cual tiene la propiedad de que al ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales. Además la función exponencial es la función inversa del logaritmo natural. Esta función se denota equivalentemente como,donde ℮ es la base de los logaritmos naturales.



Asi podemos observar que la función del despeje del tiempo en la formula de enfriamiento es inversa a la función de la ley de enfriamiento de newton, dicha afirmación se puede comprobar con el siguiente desarrollo, pero antes veremos que es función inversa:


Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que:

Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.


Entonces decimos que dos funciones: f(x) y y(x) son funciones inversas si:

f y g son inyectivas (donde a cada elemento del rango le corresponde relacionarse únicamente con un elemento del dominio).











Relación con la vida cotidiana


Para comprobar la función ejecutada durante el applet elaborado en el programa de GEOGEBRA, realizamos un experimento sencillo pero eficaz.

Sometimos una olla de aluminio al fuego la cual tendría, en un determinado intervalo de tiempo, un incremento en su temperatura hasta llegar a su punto de ebullición que es de 100° C. Es importante ver que esta ley contempla los efectos combinados de la conducción, convección y radiación.







Experiencia alumno-trabajo


Al reflexionar un poco en el mundo de la física y química, nos ha entrado una gran curiosidad por conocer la forma en que se llevan a cabo los fenómenos del mundo. En ocasiones, estos estudios pueden ser algo sosos o aburridos para los jóvenes así que hemos decido interactuar con estos fenómenos y sus resultados, trasladándolos a un campo más visual e interactivo.

Se nos ha ocurrido calentar agua y dejarla enfriar, tomando en cuenta el tiempo y la temperatura alcanzada, ambas registrándolas.

Deseamos comprobar la eficacia y validez de la fórmula de enfriamiento de Newton, así que la graficamos en un programa matemático llamado Geogebra dicha fórmula.

La gráfica tiene muchas ventajas: podemos modificar la
temperatura ambiental y la temperatura inicial, llegando a casos extremos (más de 500° C ó más de -50°C).

Así, podemos hacer cálculos y estimaciones del tiempo y la temperatura que puede llegar a sufrir un cuerpo, con una fascinante precisión.



Página oficial de GeoGebra en español







Experiencia Profesor-Trabajo


El presente trabajo es una herramienta realmente útil para hacer comprender a los alumnos de una manera didáctica la sorprendente inteligencia que los científicos tienen.

Es altamente sorprendente el cómo las leyes que fueron creadas en la antigüedad con técnicas en cierto punto rudimentarias en comparación con la tecnológica contemporánea, siguen siendo muy válidas y exactas.

La idea de esta fórmula interactiva es muy alentadora para los profesores, porque pueden extremar la temperatura ambiental o la temperatura inicial de un cuerpo, obteniendo resultados de manera inmediata. Y del mismo modo apoyándose con el material didáctico para que el alumno aprenda de una forma innovadora.

Otro punto destacable es que facilita la introducción de las formulas en la vida cotidiana, permitiendo en el momento imaginar nuevos problemas cotidianos y nuevas aplicaciones en la vida diaria.

Este trabajo abre el panorama a crear una nueva forma de enseñanza, sería muy agradable contar en la clase con gráficos de este tipo, porque se puede ahorrar mucho tiempo de clase al evitar hacer cálculos con calculadora y hacer escritos en el pizarrón, y de este modo cubrí los demás temas para crear una formación incluso más completa en el alumno. Sería completa en dos sentidos: se abarca mayor cantidad de temas del programa y se logra el objetivo más importante: que el alumno adquiera conocimientos de la asignatura que pueda aplicar en la vida cotidiana, tal como el caso del enfriamiento de Newton.

Da doble click sobre los siguientes applets para poder interactuar con ellos.


Da doble click sobre los siguientes applets para poder interactuar con ellos, solo tienes que abrirlos y cambiar los valores en los deslizadores según el que necesites o meter el valor en la barra de entrada y GEOGEBRA te dará el valor esperado.


Si mueves los deslizadores podrás definir los parámetros iniciales relacionado con el problema que deseas plantear y puedes observar cómo cambia la grafica.

Asimismo al mover el punto referente el eje X (tiempo) observa como cambia (temperatura) la gráfica, de acuerdo a los valores involucrados.





















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Ahora tienes el despeje de (t) tiempo con el que podrás saber exactamente cuanto tiempo tiene que transcurrir para obtener la temperatura deseada.





















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Con las gráficas anteriores puedes usar ya con los datos obtenidos la formula de enfriamiento de Newton y obtener datos más precisos.

Con el fin de evaluar que tanto has aprendido, contesta las siguientes preguntas:


¿Qué ocurre con la temperatura si el tiempo aumenta?

Si la temperatura inicial es muy baja con relación a la temperatura ambiente ¿cómo es la gráfica de la temperatura? Y ¿si la temperatura inicial es mas alta?

¿es posible que el cuerpo en algún momento alcance la temperatura ambiente de acuerdo a la gráfica?



Applet 2:

¿Cuál es el dominio de la gráfica construida en el applet?

¿Porqué crees que el tiempo puede tomar valores negativos en la gráfica?,

¿que pasa con el tiempo cuando la temperatura del cuerpo se aproxima a la temperatura ambiente?




A continuación se te presentarán problemas, los cuales podrán ser resueltos con applets de arriba!

Get Fun!!

1.- Un cuerpo tiene una temperatura inicial de 130°C pero después de un tiempo de 20 minutos el cuerpo llega a una temperatura final de 30°C. Si el problema se desarrolla a una temperatura ambiente 23°C y con una constante, con los datos correspondientes determina:

a) ¿Cuál es la constante que se necesita para que dicho cuerpo llegue a la temperatura final?

2.- Luis está muy contento con su nuevo juguete, pero no se fijó que la dejó en su patio a pleno rayo de sol; si se sabe que dicho juguete contrajo una temperatura de 60°C determina el tiempo que tiene que pasar para que Luis pueda utilizar su juguete con una temperatura de 25°C teniendo como constante -0.023 y bajo los efectos de una temperatura ambiente de 22°C.

3.- Ha transcurrido un tiempo de 30 min en los cuales el cuerpo se enfrió después de tener una temperatura inicial de 95°C; pero este cuerpo ha sido influenciado por una temperatura ambiente de 25°C bajo una constante de -0.034, con base en estos datos obtén la temperatura final a la que llego el cuerpo.

4.-

a) determina la temperatura de un cuerpo 50 minutos después de ser calentado a una temperatura de 120°C y se sabe que 15 minutos después su temperatura es de 105°C, con una temperatura ambiente de 25°C.

b) ¿Cuánto tiempo tardará este cuerpo en tener una temperatura de 45°C a partir de que se calentó?

5.- La mamá de Julián terminó de hacer la comida a las 2:15 pm con una temperatura de 65°C pero su familia llegará a comer a las 3:30 pm, si deja la comida a una temperatura ambiente de 25°C y suponiendo que el enfriamiento de la comida se rige por una constante de -0.025 determina ¿a qué temperatura la familia de Julián se comerá la comida?

Problemas para la fórmula de enfriamiento de newton

Ahora resuelve los siguientes problemas:
(nota: puedes usar los applets de Fórmula de enfriamiento de Newton y despeje de tiempo presentados en la entrada de "Fórmula de enfriamiento de newton" para resolver los problemas.

1.- Ha transcurrido un tiempo de 30 min en los cuales el cuerpo se enfrió después de tener una temperatura inicial de 95°C; pero este cuerpo ha sido influenciado por una temperatura ambiente de 25°C bajo una constante de -.o34, con base en estos datos obtén la temperatu
ra final a la que llego el cuerpo.


2.- a) determina la temperatura de un cuerpo 50 minutos después de ser calentado a una temperatura de 120°C y se sabe que 15 minutos fdespués su temperatura es de 105°C, con una temperatura ambiente de 25°C.


b) ¿Cuanto tiempo tardará este cuerpo en tener una temperatura de 45°C a partir de que se calentó?

3.- La mamá de Julián termino de hacer la comida a las 2:15 pm con una temperatura de 65°C pero su familia llegará a comer a las 3:30 pm, si deja la comida a una temperatura ambiente de 25°C y suponiendo que el enfriamiento de la comida se rige por una constante de -.025 determina ¿a que temperatura la familia de Julián se comerá la comida?



4.-Hay tres arquitectos y un estudiante con un proyecto en pie sobre una expedición experimental, por lo cual deben viajar a Cuernavaca para examinar el lugar, clima, suelo, por mencionar algun
os; lamentablemente se demoran y no consiguen regresar a su origen, debido a lo peligrosa de la autopista no se puede viajar de noche por diversos factores, así que deben permanecer en el hotel que se hospedaron hasta el día siguiente. Para aprovechar el tiempo deciden seguir trabajando en dicho proyecto.


El vigilante que acostumbra pasar la noche solo se encuentra deseoso por conocer acerca de su nuevo proyecto, por lo tanto decide acompañarlos en la pieza donde laboran. Luis, uno de los arquitectos decide ir a descansar, ya que las arduas horas de trabajo lo habían agotado bastante puesto que la temperatura es mayor a comparación del lugar donde reside. Así que a las 21:30 de la noche se dispone a tomar una siesta. Eduardo, el cuidador y el estudiante permanecen trabajando, a las 22:25 Néstor se ausenta y al cabo de un tiempo regresa macando el reloj las 22:35. De igual manera Eduardo se retira entre las 23:25 y las 23:35, el vigilante abandona también la reunión a las 00:25 y regresa 10 minutos después.


Finalmente nada hay por hacer y deciden irse todos a dormir. De camino a las habitaciones el estudiante sabe que Luis tiene que despertarse temprano y decide pasar a dejarle el informe. Llega a la habitación de éste, enciendes la luz y ¡HORROR! Luis está tirado en el piso con múltiples cuchilladas en la
espalda, rápidamente se acerca el estudiante, checa su pulso y corrobora que está junto a un cadáver. Sus otros compañeros se encuentran consternados, proponen la hipótesis del suicidio, ya que Luis presentaba estados de depresión agudos, sin embargo una corazonada les indica que fue un asesinato y el homicida es uno de ellos, mientras tanto especulan dentro de sus mentes. Es a la 1:30, la temperatura del lugar está controlada y es mantenida constante por el sistema de calefacción que marca 25 °C. Salvador (el estudiante) se dirige al estante por un termómetro y establece que la temperatura del cuerpo es de 31,75 °C. En seguida entre disputas y cuartadas transcurren 30 minutos, Salvador retoma la temperatura del cadáver y es de 30,85 °C.: ¿Quién será el asesino?

La temperatura normal de un ser humano es de 37 °C.

La ley de enfriamiento determina
que la diferencia entre la temperatura del cuerpo
y la ambiente sigue una ley exponencial

T0 = 30.85 - 25 = 5.85
Tb = 31.75 - 25 = 6.75
Tc = 37 - 25 = 12

Intervalo de tiempo
1/2 h --- ln Tb/T0 = ln Tb - ln T0 = 0.1431

x h ---- ln Tc/T0 = ln Tc - ln T0 = 0.7185

El cociente nos da 5
x = 5 * 1/2 h = 2.5 h

Como tomamos la última lectura
a las 2:00 , el asesinato
ocurrió aprox. a las 11:30

Los indicios señalan a EL VIGILANTE como el ignoto que buscamos

El despeje de K





Ahora tienes el despeje de K con el cual podrás interactuar para resolver los problemas que se presentan en otras entradas del blog.



















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La velocidad en que un cuerpo se enfría es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo T(t) y la temperatura (constante) del ambiente alrededor del cuerpo TA

dT/dt = −k(T − TA)

Donde k > 0 es una constante que depende del cuerpo.

Recursos

Puedes consultar con los siguientes enlaces paginas que te apoyarán a encontrar más información al respecto, en caso de que tengas alguna duda.


http://blogs.eldiariomontanes.es/scientia-mater/2009/3/13/fisica-mentes-inquietas-enfriamiento-del-cafe

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